高考数学秘笈1——四步解题法之总论

高考数学秘笈1 ——四步解题法之总论

高考数学秘笈2 ——四步解题法之整体框架

高考数学秘笈3 ——四步解题法之实例示范1

高考数学秘笈4 ——四步解题法之实例示范2

高考数学秘笈5 ——四步解题法之实例示范3

高考数学秘笈6 ——四步解题法之明确目标1

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高考数学秘笈1 ——四步解题法之总论

在数学学习中,你是否经常出现这样的现象:明明所学的概念、公式、定理都背熟了,例题也看懂了,但为什么还是不会做习题?

这是因为,数学中真正标准的、可以程序化的,像解一元二次方程那样的问题是很少的。解题中,要想把问题中的条件与结论沟通起来,光有雄厚的知识、灵活的方法和成功的解题经验还远远不够。

在一般情况下,问题与知识的联系并非是显然的,即使有时能在问题中看到某些知识的“影子”,但毕竟不是知识的原形,或是披上了“外衣”,或是减少了条件,或是改变了结构,从而没有现成的知识、方法可用。

为了判断利用什么知识,选用什么方法,就必须对问题进行解剖、识别,对各种信息进行筛选、加工和组装,以创造利用知识、方法和经验的条件。这种复杂的、创造性的分析过程就是数学思维方法作用的过程。因此,正确的思维方法是影响解题成败的最重要的因素。

但是,在数学解题教学中,教师和学生都往往只注重基本知识和具体方法,忽视数学观念的培养和数学思维能力的训练,造成解题困难。为了克服这一困难,各种各样的、非本质的、庞杂零乱的具体解题技巧统统被视为规律, 造物成为教师谆谆告诫的教学重点。学生也就试图通过记忆、模仿来补偿思维能力的不足,利用胡猜乱碰代替有根据、有目的的探索,这不仅不能提高学生的解题能力,而且对于系统数学知识的学习,对于数学思维结构的健康发展都是不利的。

在解决具体问题时,学生因沒有正确的思维方法造成解题失败的现象时有发生。我们举一个例子。

例、设α、β∈(0,π),且cosα+cosβ-cos(α+β)=3/2,求α、β之值。

【误解】应用和差化积公式和倍角公式,得

2cos[(α+β)/2]-cos[(α-β)/2]-2

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[(α+β)/2]+1=3/2。

提取公因式,得

cos[(α+β)/2]{ cos[(α-β)/2]- cos[(α+β)/2]}=1/4。

继续利用和差化积公式,得

cos[(α+β)/2]sin(α/2)sin(β/2)=1/8。

这样,无法求得α、β之值。

【误解2】应用和角公式,得

cosα+cosβ-cosαcosβ+sinαsinβ=3/2。

把方程变形,得

sinαsinβ-(1-cosα)(1-cosβ)=1/2。

利用倍角公式,得

4sin(α/2)sin(β/2)cos(α/2)cos(β/2)-4

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(α/2)

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(β/2)=1/2。

提取公因式,得

sin(α/2)sin(β/2)[cos(α/2)cos(β/2)-sin(α/2)sin(β/2)]=1/8。

又得到 cos[(α+β)/2]sin(α/2)sin(β/2)=1/8。

同样无法求出α、β之值。

纵观上述解题过程,可以看到,造成解题受阻的原因不是解题者知识的缺乏,而在于解题者未能正确把握变形方向,未能在解题之前先进行一番直觉考虑和科学预测。而是盲目变形:见了“和差”就化“积”,见了“和角”就化“单角”,根本不去考虑这些变形的目的与意义,使解题思维陷入混乱,导致解题失败。

实际上,本题的实质是解三角方程。但题中只有一个方程,却合有两个未知数,在一般情况下是无法确定未知数的值的,只有在一种极端的情况下(如非负数的和为零,二次方程根的判别式大于或等于零,基本不等式中等号成立等)方可获解,这就启发我们在原方程中去发掘这种极端情况。

正确的解法为:将原方程整理成关于cos[(α+β)/2]的一元二次方程

2 cos[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]-2

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[(α+β)/2]-1/2=0 ……①

若要构造非负数的和为零,则会想到配方法。于是,①可化为

2 {cos[(α+β)/2] -(1/2)cos[(α-β)/2]}

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+(1/2) sin

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[(α-β)/2] =0。

至此,不难求得a=β=π/3。

若想利用二次方程根的判别式解题,则因方程①有实根,得

Δ=4 cos

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[(α+β)/2]-4≥0,于是cos

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[(α+β)/2]≥1。

但cos

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[(α+β)/2]≤l,所以cos

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[(α+β)/2]=1 ,可求得a=β=π/3。

本例充分说明了解题中以正确的数学思维方法作指导的重要性。应当说,学生对上述解法中涉及的基本知识(三角恒等变形)和基本方法(配方法、判别式法)是熟悉的,关健是他们想不到用这些知识和方法去解题,这就充分体现了学生对数学思维方法的缺乏与需求。

数学思维方法过于广泛,也很抽象。那么,中学数学中是否有一种有规律可循的思维方法?答案是肯定的。在我们多年的教学实践中,总结出一种行之有效的解题思维方法——四步解题法,相应著作已在科学普及出版社出版。这里,我们将陆续向大家系统介绍这一方法。