高考数学秘笈:四步解题法18——揭示本质之本质特征

冯跃峰

所谓揭示本质,就是从本质上把握事物的特点与性质。

数学问题的本质,是指那些直接影响解题的有关信息。它主要包括两个方面:

一是本质特征,即问题具有的与解题有关的一些特点和性质。

二是本质要求。任何数学问题都对解题者提出了明确的要求,“明确目标”仅仅是认识了题目要求的表象,但这种要求的本质是什么?由条件到结论实质上是要做一项什么工作?还需要解题者从更高的层次上去把握。

我们看一个例子。

例1、设f(x)是R上的增函数,且

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求f(x)。

【分析与解】先明确目标,求出所有合乎要求的f(x)的解析式。

以题中给出的两个条件为起点,可建立如下解题主线:

f(x)是R上的增函数,

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——→ f(x)=…

遗憾的是,这两个条件如何运用?一时还难以看出端倪。

比如,如何利用“f(x)是R上的增函数”?根据增函数的本质特征,要利用增函数进行推理,需要先有一个不等式“u<v”为推理的前提。在此基础上,两边增加函数符号“f”,不等式不改变方向,即由u<v得到

f(u)<f(v)。

将此特征与目标比较,显然的差异是:目标为等式,而条件为不等式。

由此想到,为了利用条件,目标能否用不等式的形式来刻画?

假定f(x)的解析式已经求出,设为p(x),则目标变为

f(x)=p(x)。

它的含义是,对任何实数x,等式都成立,没有例外。

现在要将目标转化为不等式,则只需排除哪些“例外”即可:假定存在x₁,使

f(x₁)≠p(x₁),

则有两种可能:

或者f(x₁)<p(x₁);

或者f(x₁)>p(x₁)。

将这两种情形都否定掉即可。这也就为利用函数的递增性创造了时机。

现在需要做的事情是,确定p(x)是什么。这可借助另一个条件:

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联想到反函数图像的相关知识,可知f(x)的图形沿直线y=x对称后,图像与本身重合,由这一几何特征,不难发现p(x)=x(当然,几何直观需要辅之以代数的严格证明)。

至此,我们只需证明,

f(x₁)< x₁、f(x₁)> x₁

都不可能成立即可。

这采用反证法推理模式,结合函数的单调性,问题迎刃而解。具体解答如下:

【新写】首先,f(x)=x是合乎条件的函数。

下面证明它是唯一合乎条件的函数。

假定存在x ₁,使f(x ₁)<x ₁, 胎盘滞留那么,因为f(x)是R上的增函数,有

f(f(x ₁))< f(x ₁)。

又由题意,有

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代入上式,得

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即x ₁< f(x ₁),这与假设矛盾。

所以,对一切x,恒有f(x)≥x。

同样可以证明,对一切x,恒有

f(x)≤x。故f(x)=x。

下面看一个简单的例子。

例2、一根长为l厘米的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时,离开平衡位置的位移s(厘米)和时间t(秒)的函数关系是

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(1)求小球摆动的周期;

(2)已知g=980厘米/秒²,要使小球摆动的周期是1秒,线的长应是多少厘米?

【分析与解】本题选自中学数学课本,它包含了多种信息。其中有些信息与解题是无关的,如“线”、“小球”、“平衡位置”、“位移”、“时间”等,这些都对解题没有影响;

而有的信息则与解题密切相关,如“周期”、“函数

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等。略去那些次要内容,即可看出,第一问的本质特征,就是求形如

u=Acos(ωx+φ)内函数的周期。

第二问则不过是反过来由周期求常数l,认识到这一点,问题就不难获解。

显然,对于(1),小球摆动的周期

T=

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=

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=

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对于(2),令T=1,则

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解得

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≈24.85(厘米)。

我们再看一个难度稍大一点的例子。

例3、设x>2,求

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的值域。

【分析与解】见到这种形式的值域问题,不少同学立马想到“判别式法”。

但殊不知,这里有附加条件“x>2”,与通常值域问题存在差异:需要讨论相应二次方程在(2,+∞)上的根的分布,过程很繁。

又或者想到分离整数部分的变形技巧,虽然过程相对上一方法简单些,但仍较繁。

我们这样来理解问题的本质特征:令

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,则所求值域,就是y的取值范围。

更广义地说,只要能求出某个关于y的函数q(y)的取值范围,然后解不等式,即可得到y的取值范围。

由于y与x相关,从而q(y)亦与x相关,可以表示为:p(x)=q(y)(参数分离形式)。

如果其中p(x)是我们熟悉的基本函数,容易求其值域,则问题迎刃而解:设p(x)的值域为A,有q(y)∈A,由此即可得出y的变化范围。

有了对问题本质特征的认识,解题思路则豁然开朗,具体解答如下:

【新写】令

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,则

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整理,得

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分离参数,得

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所以,

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进而

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因为x>2,所以1,'>

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所以1,'>

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即0。'>

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这等价于(2y-1)(y-1)<0

解得

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<y<1

故f(x)的值域为(

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,1)。

下一个问题解法与之类似,留给读者作为练习。

例4、设-1<x<1,且x≠-

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的值域。

【分析与解】本题若用分离整数部分的变形技巧,则过程较繁,因为涉及到负数取倒数的变形。下面采用把握目标本质特征(广义目标)的思路,则过程较为简单。

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,则2xy+y=1-x,

所以(2y+1)x=1-y,

所以

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因为-1<x<1,所以-1<

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<1

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,得

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即0'>

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,所以y<-

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或y>0。

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得0'>

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所以y<-2,或y>-

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的值域为

(-∞,-2)∪(0,+∞)。

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