高考数学秘笈:四步解题法11——寻找条件之实际意义

冯跃峰

本讲介绍寻找条件的第二种方式。

(2)发掘条件中隐藏的某些对象的实际意义。

在寻找条件的最初阶段,对条件的了解和整理还只是表面上的,只有对条件深入理解,才能认识条件的本质,为利用条件创造“条件”。

理解是应用的前提,要想应用条件,首先就得读懂条件。要透过数字、符号、语言的表象,弄清题设条件到底告诉你一些什么信息。必要时,还可借助图表、模型等加深理解。只有真正了解了条件的含义,才能准确地应用。

我们先看两个简单的例子。

例1、设A={(x,y)|x+y=2,x∈R,y∈R},

B={(s,t)|2s-t=1,s∈R,t∈R},

求A∩B。

【分析与解】本题的目标是:A∩B=?

题给的条件是,给出了两个具体的集合。解题的关键,是理解这两个已知集合的实际意义。

有同学看到这样的条件,认为A是由(x,y)构成的集合,而B是由(s,t)构成的集合,所含的字母不同,错误地判断它们没有公共元素,得出错误答案:A∩B=Φ。

造成上述解题失误的原因,显然是对条件的理解不正确,它反映的是相关概念的模糊。出现这样的错误,并不在于思维能力的不足,而是相关知识存在漏洞。

我们知道,一个集合的确定,主要是看集合有什么类型的无素,而这些无素用什么字母表示则是无美紧要的。

比如,集合{x|x≥1}与集合{t|t≥1}就是同一个集合,它们都表示区间(1,+∞)内所有数组成的集合。

在这种理解下,本题中两个集合都是一些有序实数对的集合,求A∩B,就是把它们中公共的有序实数对找出来。这就只需知道两个集合中实数对的存在域。

容易发现,两个集合中实数对的存在域为两条直线,只需求出两直线的交点,即可求出A∩B。

于是,x+y=2,2x-y=1,联立解得x=y=1,故A∩B={(1,1)}。

例2、设A={x|x=|t|,t∈R},

B={x|x=1-t²,t∈R},

求A∩B。

【误解】有的解题者在解这道题时,象主由于没有理解条件的实际意义,就急于解题,造成解题失误。

他们认为,求 A∩B就是解方程组

x=|t|,

x=1-t²。

消去t,得x=1-x²,

解得x=

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得到错误答案:

A∩B={(

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}。

造成上述错误的原因,就是把两个集合中的x、t理解为取相同的值。由于x、t在两个不同的集合里,它们均可独立取值,不受另一个集合中字母取值的影响。求A∩B,也只是要求A、B两个集合中x的取值相同,而两个集合里各自的哪些t使两个x的取值相同是不去考虑的。

如果令两集合中的x相等去建立方程,那么两个集合中的t要分别用不同的字母心t₁、t₂来区别,这样建立的方程组只能消去x,得到方程|t₁|=1-t₂²。

但按此思路去解,过程很繁。

实际上,只要正确理解了A、B的实际意义,本题其实是很简单的。

A、B都是一些实数组成的集合,如果把x=|t|理能为tox平面上的曲线,那么集合A就是该曲线上各点纵坐标的集合。

同样,集合B就是曲线x=1-t²上各点纵坐标的集合。

如果把x=|t|理解为函数,那么集合A就是函数x=|t|的值域,便知A={x|x≥0};同样,集合B就是数x=1-t²的值域,便知,B={x|x≤1 }。

在这种理解下,显然有A∩B={x|0≤x≤1}。

我们再看两个稍复杂点的例子。

例3、设函数f(x)满足:

f(x+y)=f(x)+f(y),

且x>0时,f(x)<0

求证:f(x)为减函数。

【分析与证明】先明确目标,我们要证明:

当x₁<x₂时,f(x₁)>f(x₂)。

分割目标,建立如下解题主线:

起点x₁<x₂ ——→ 终点:f(x₁)>f(x₂)。

下面寻找条件,与目标相接近的题设条件是

:“x>0时,f(x)<0。”

这个条件的实际意义是,任何整数对应的函数值都为负数。为运用方便,可将它形象地表述为:对形如“?>0”的不等式的左边添加f,不等式反向。

比如,由1>0,得f(1)<0

再比如,由

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>0,得f(

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)<0

为了利用这一条件,需要将起点中的不等式变成形如“?>0”的形式,这需要发掘两者的差异。

它们有两种差异,一种差异是不等式方向不同,这只需在不等式x₁<x₂两边同乘以“-1”,便得- x₁>-x₂;

另一种差异是,起点不等式右边不是0,这移项即可。这样一来,起点变为x₂-x₁>0。

现在可利用上述条件,得f(x₂-x₁)<0

再发现差异,当前状态

“f(x₂-x₁)<0”中只有1个f,而目标

“f(x₁)>f(x₂)”中有2个f。

为消除差异,希望当前状态能增加一个f,自然想到f(x₂-x₁)能否分拆成两部分。

我们猜想:

f(x₂-x₁)= f(x₂)-f(x₁)(子目标)。

再寻找条件,与之接近的条件是

f(x+y)=f(x)+f(y)。

继续发现差异,子目标与上述条件存在结构差异:条件中函数之间用“+”号连接,而子目标中函数之间用“-”号连接。

这个差异很容易消除,通过移项改造子目标即可,得到

新的子目标:

f(x₂-x₁)+ f(x₁)=f(x₁)。

利用上述条件,这显然是成立的,解题获得成功。

具体解答如下:

【新写】设x₁<x₂,则x₂-x₁>0,

由题给条件,有f(x₂-x₁)<0。(*)

又由题给条件可知,

f(x₂-x₁)+ f(x₁)

= f((x₂-x₁)+f(x₁))=f(x₁),

即 f(x₂-x₁)= f(x₂)-f(x₁),

所以(*)式变为f(x₂)-f(x₁)<0

即f(x₁)>f(x₂),故f(x)为减函数,证毕。

例4、设f(x)=

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的图象关于

A(

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)对称,

求实数a。

【分析与解】很明显,解题的关键,是理解条件:

“图象关于A(

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)对称”

的实际意义。

这并不是说,从图像上看对称有何作用,而是要用数学式子表述对称的意义。

所谓图像关于点A对称,其意义是:对f(x)的图象上的任何点P(x,y),设它关于A的对称点为Q(1-x,1-y),则Q在f(x)的图象上。

于是,可这样用数学式子描述图像的对称性:

对任何满足y=

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的实数x、y,有

1-y=

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这样,目标变为:由以上两式中x、y取值的任意性,求出合乎条件的a。

两式相加,可知对一切实数x,有

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+

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=1。

由此可求出a。具体解答如下:

【新写】因为f(x)的图象关于

A(

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)对称,在f(x)的图象上任取一点P(x,y),设P关于A的对称点为Q(1-x,1-y),那么Q在f(x)的图象上。

于是,对一切实数x,有

y=

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,1-y=

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两式相加,得

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+

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=1。

即(a+

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)+(a+

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=a+

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+

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+4,

化简得2a=a+4,解得a=4。

经检验,a=4合乎要求。