高考数学秘笈2——四步解题法之整体框架

经验不只一次地告诉我们:知识不足还可以补救,方法不够也可以积累,但若不善思考,即使再有知识和方法,却不懂得如何运用它们解决问题,也是枉然。

与此相反,掌握了正确的思维方法,知识就不再是孤立的,方法也不再是呆板的,它们都建立了有血有肉的联系,组成了生机勃勃的知识方法体系,数学思维活动也就充满活力,得到更完美的发挥与体现。

数学思维方法,通常又表现为一种解题的思维模式。例如,美国数学教育家波利亚就在其名著《怎样解题》中列出了如下一张著名的解题表。

“怎样解题”表

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(弄清问题)未知数是什么?已知数据是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知数,条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?现者是矛盾的?画张图,引入适当的符号。把条件的各个部分分开,你能否把它们写下来?

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(拟定计划)你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同!你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?看着未知数!试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有关,且早已解决的问题,你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它,你是否应该引入某些辅助元素:你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?回到定义去。如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分面舍去其余部分,这样对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确定未知数的其它数据?如果需要的话,你能不能改变未知数或数据?或者二者都改变,以使新未知数和新数据彼此更接近?你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件:你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念?

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(实现计划)实现你的求解计划,检验每一步骤,你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?

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(回顾)你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出它来?你能不能把这个结果或方法用于其它的问题?

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容许我们大胆断言,任何一种解题模式均不可能囊括人们在解题过程中表现出来的各种思维特征。诸如观察、识别、猜想、尝试、回忆、比较、直觉、顿悟、联想、类比、归纳、演绎、想像、反例,一般化、特殊化等。这些思维特征充满解题过程中的各个环节,要想用一个模式来概括,那就像用数以千计的思维元件来构造一个复杂而庞大的解题机器。这在理论上也许是可行的,但在实际应用中却难于被人们(特别是中学生)所接受。因此,人们希望找到一种比较实用而又具有一定的普遍意义的解题模式,波利亚的解题表就是这样一种模式。但其表过于庞大,不容易记忆,操作也不甚方便。

在此表的启发下,我们经过反复摸索与实践,研究出一种新的解题模式——四步解题法。

所谓四步解题法,就是把数学解题的思维过程划分为四个环节:

(一)明确目标,寻找条件。

(二)发现差异,揭示本质。

(三)构造相同,联想相似。

(四)抉择通道,转化矛盾。

完成此四个步骤,称为一个解题循环,通过多次循环,最终使问题获解。具体可用枢图表示如下:

图片

上图说明,解题进入第一环节后, 造物一些简单的问题即可找到解题途径。此时,便可跳越二、三两个环节,直接进入第四环节;若问题比较复杂,经过第一环节还看不清从何处着手,则可进入第二环节。

经过此环节后,若找到了问题的突破口,则又可跳越第三环节而进入第四环节。若否,则先进入第三环节,然后再进入第四环节。

至此,便完成解题的一次循环(每次循环中,第一环节和第四环节都是必经环节)。经过一次循环后,原问题便被转化为一个新问题(包括问题的条件和结论)。

如果这个新问题已经知道如何解决,解题分析便到此结束。若否,则再进入第一环节,开始新的循环,重新研究转化后的新问题。

如此反复循环,反复转化,直至问题获解,这就是四步解题法的基本内容。

如果我们把数学问题看作一个螺旋式的多级台阶,而解题就是要攀登到台阶的顶端。那么,四步解题法的每一次循环,就是攀越台阶的一级阶梯。反复循环,反复攀越,最终达到台阶的顶端。

因“台阶”有高有低,“循环”也就有多有少,并且,在每上一级阶梯的单个循环中,并不一定都要经过四步解题法的四个步骤,根据问题的难易、繁简不同,某些步骤可能出现一些跳越现象。

我们认为,把数学思维过程程序化,给解题思维一种定式的框架,不仅不会襟锢人的思维,反而有助于思维的发散。

实际上,定势思维按照一种固定的模式去思考,它表现出思维的一种准备状态,并能随时扩大已有经验的应用范围。定势的不断熟练与完善,使思维更加深入与灵活。另外,发散思维以定势思维为前提,它常常表现为对定势的调节与多异。发散不是目的,发散后势必形成新的定势,使解题通向成功。

由此可见,四步解题法这种定势的思维模式,对于助人们分析问题、寻求解法,提高解题能力,都将起到一定的积极作用。

当然,如果读者已经掌握了某些问题的专门解法,而且很有应用它们的经验,并在遇到类似的新问题时,能迅速识别它们的类型,把它们纳入已有的知识系统。那么,你就只须根据过去的经验,按照原来的方法求解就行了。

一旦你对有关知识的了解达到了这种熟练的程度,那么,四步解题法或其它的科学思维方法对你解这些问题来说,就沒有什么价值了,而且也确实有些数学问题是只须依样画葫芦的。但必须指出,这些问题稍作改变,那些你所熟悉的方法,可能就不再适应了。我们举一个例子:

比如,“消元法”你一定是比较熟悉的,也许你对”已知x+4y=1,求x²+xy-x+2y的极值”这样的问题,就无须思考,可直接找到解法。

但是,问题稍作改变,变为“已知x+2xy+4y=1,求x²+xy-x+2y的极值”,你可能就不那么得心应手了,甚至还束手无策。这时,你就需借助科学的思维方法来寻求解题途径。

大家可以自己先想想,这个变异后的题目应该怎么做,答案我们将在后面介绍。

另外,数学中可依样画葫芦的数学问题也毕竟很少,并且对任何解题者来说,总不可能每解一题都记住一种解题方法。因此,科学的思维方法不论对怎样的解题者都显得非常重要。即使是很有经验的解题者,一旦掌握了科学的思维方法,就会从更高的层次去把握他所熟悉的方法,使之更完美、更实用、更有威力!

总之,四步解题法这种模式化了的数学思维方法,可以帮助你在解题时从记忆库里提取解题所需要的基础知识和具体解题方法,通过问题本身的提示,把已有的知识、方法与要解决的问题联系起来,建立良好的信息交往,使解题获得成功。

即使是对那些你“一看就会”的问题,运用四步解题法来寻求解题途径也不无意义,它可以帮助你验证四步解题法的威力,使你萌发运用它的兴趣与决心。

我们在具体分析每一个环节究竟如何实施解题之前,后面的文章将会先略举几例,说明四步解题法的具体操作过程,使读者对这一方法有个初步了解。